نظرية المجموعات الرياضية للعالم جورج كانتور

نظرية المجموعات الرياضية للعالم جورج كانتور

         تعد نظرية المجموعات set theory شعبة من الرياضيات أنشأها عالم الرياضيات الالماني جورج كانتور Georg Cantor في أواخر القرن 19م. وتعتمد نظرية المجموعات على مفاهيم أساسية هي المجموعة والانتماء التي تبني من خلالها المواضيع الاساسية للرياضيات والمتمثلة في: الدالات (الدوال) والعلاقات  والاعداد الطبيعية والاعداد النسبية والاعداد الحقيقية والاعداد العقدية (المركبة)... لهذا تعتبر نظرية المجموعات نظرية أساسية، وذلك ما جعل هلبرت Hilbert يقول عنها: إنها الجنة التي خلقها كانتور لعلماء الرياضيات. 

           لقد وفرت هذه النظرية أساسا للرياضيات المعاصرة، كما عرض كانتور مع نظرية المجموعات théorie des ensembles مفاهيم جديدة بشكل غير مسبوق، أبرزها فكرة أن هناك العديد من اللانهايات التي يمكن قياسها ومقارنتها مع الاعداد الجديدة (ordinaux et cardinaux)، وبسبب حداثتها فإنها كانت  متناقضة بشكل كبير  مع بعض مبادئ الرياضيات البنائية والحدسية، خاصة حينما تفترض وجود مجموعات لانهائية. ومع بداية القرن العشرين ساهمت مجموعة من العوامل في دفع علماء الرياضيات الى تطوير نسق لنظرية المجموعات منها: اكتشاف مفارقات أبرزها مفارقة paradoxe راسل Russell، لكن بصفة خاصة فرضية الاستمرارية التي تفرض تحديدا دقيقا لمفهوم المجموعة. هذه المقاربة الصورية أدت الى عدة نظم الانساق، كان اشهرها نسق زيرميلو-فرانكل Zermelo–Fraenkel الذي يعرف اختصارا ب  ZFC وكذلك نظرية الفئات التي قدمها نيومان von Neumann ونظرية الاصناف التي أنشأها راسل Russell.

* أصول نظرية المجموعات:
- تكوين نظرية المجموعات set theory:

           يعتبر كانتور Cantor المؤسس الرئيسي لنظرية المجموعات، حيث قدمها في أوائل سنة 1880م. لقد كان يشتغل على مشكلة التقاء سلسلة المثلثات séries trigonométriques خلال سنوات 1870 حينها توصل إلى استنتاج تحديد فكرة مجموعة الاعداد الحقيقية: فإذا كانت لدينا المجموعة الحقيقية X وقمنا باشتقاق منها X' بعد أن حذفنا منها جميع النقط المنعزلة.

 فمثلا إذا أخذنا المجموعة {X={1/n,n €N*}U{0 وكان كل عدد 1/n يكون منعزلا في المجموعة X فإن  X' ستكون بكل بساطة {0} وبذلك يصبح حل المجموعة الاخيرة هو مجموعة فارغة.